La paradoja de Banach-Tarski

Olmo Claudio, José Luis Del. (2021). La paradoja de Banach-Tarski Master Thesis, Universidad Nacional de Educación a Distancia (España). Facultad de Ciencias

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Nombre Descripción Tipo MIME Size
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Título La paradoja de Banach-Tarski
Autor(es) Olmo Claudio, José Luis Del
Resumen El presente trabajo tiene como tema central la paradoja formulada por Banach y Tarski en 1924. En su forma original enuncia que dados dos subconjuntos acotados A,B de R3 con interior no vacío, existen dos particiones de los mismos,{Ai :, 1 ≤ i ≤ n} y {Bi :, 1 ≤ i ≤ n} de tal manera que Ai y Bi son congruentes para todo i. En sentido intuitivo, nos dice que si cogemos una superficie esférica de cierto tamaño, podemos dividirla en un número finito de pedazos de tal manera que mediante sólo rotaciones y traslaciones podemos formar una superficie esférica de tamaño superior o varias superficies esféricas del mismo tamaño. El desarrollo del trabajo se realiza a lo largo de 5 capítulos. En el primer capítulo se realiza una exposición del desarrollo histórico de los conceptos relacionados con la paradoja. En el segundo capítulo se presenta una serie de conocimientos preliminares sobre diversas áreas de la matemática para posibilitar una total comprensión de la misma. El capítulo 3 está dedicado a la exposición de la paradoja en sí, siendo uno de los capítulos más importantes, mientras que el capítulo 4 está dedicado al estudio de la paradoja en dimensiones inferiores y superiores a 3. En el quinto capítulo analizaremos la relación que existe entre la posible existencia de una medida y la existencia de la paradoja e introduciremos la noción de grupo amenable y en el sexto capítulo se expondrá unas breves conclusiones finales. Finalmente, debido al importante papel que juega el Axioma de Elección en la demostración de la paradoja se ha incorporado un apéndice final en el que se habla del mismo.
Abstract The present work has as its central subject the paradox formulated by Banach and Tarski in 1924. In its original form it states that given two bounded subsets A,B of Rn,n≥3 with non-empty interior, there are two partitions, {Ai :, 1 ≤ i ≤ n} and {Bi :, 1 ≤ i ≤ n} in such a way that Ai y Bi are congruent for every i. From an intuitive point of view, it tells us that if we take a spherical surface of a certain size, we can divide it into a finite number of pieces in such a way that by means of rotations and translations alone we can form a spherical surface of larger size or several spherical surfaces of the same size as the original one. The development of the work is carried out in x chapters. In the first chapter an exposition of the historical development of the concepts related to to the paradox is presented. In the second chapter a series of preliminary knowledge about different areas of mathematics is showed in order to make possible a complete understanding. Chapter 3 is dedicated to the exposition of the paradox itself, being one of the most important chapters, while chapter 4 will be dedicated to the study of the paradox in dimensions lower and higher than 3. In the fifth chapter we will analyze the relationship between the possible existence of a measure and the existence of the paradox and we will introduce the notion of amenable group and in 5 the sixth chapter we will present some brief final conclusions. Finally, due to the important role played by the Axiom of Election in the demonstration of the paradox, a final appendix has been included in which it is discussed.
Notas adicionales Trabajo de Fin de Máster Universitario en Matemáticas Avanzadas. Especialidad de Análisis Matemático. UNED
Materia(s) Matemáticas
Editor(es) Universidad Nacional de Educación a Distancia (España). Facultad de Ciencias
Director/Tutor López Abad, Jorge
Fecha 2021-07-12
Formato application/pdf
Identificador bibliuned:masterMatavanz-Jlolmo
http://e-spacio.uned.es/fez/view/bibliuned:masterMatavanz-Jlolmo
Idioma spa
Versión de la publicación acceptedVersion
Nivel de acceso y licencia http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0
info:eu-repo/semantics/openAccess
Tipo de recurso master Thesis
Tipo de acceso Acceso abierto

 
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Creado: Tue, 02 Nov 2021, 19:54:30 CET